بحث در وجود و علامت ریشه‌های معادله درجه دوم
برای تشخیص وجود یا علامت ریشه‌های معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ بدون حل معادله به‌صورت زیر عمل می‌کنیم ابتدا $P=\frac{c}{a}$ را تشکیل می‌دهیم، سه حالت داریم:
حالت اول: اگر$P=\frac{c}{a}$ منفی باشد( اگر a و c مختلف العلامه باشند، معادله دو ریشه دارد زیرا :$ca< 0\rightarrow \Delta =b^{2}-4ac> 0$) در این صورت دو ریشه مختلف العلامه داریم که یکی مثبت و دیگری منفی است که:
اگر $ S=-\frac{b}{a}> 0$ در این‌صورت ریشه‌ای که از لحاظ قدرمطلق بزرگتر است مثبت است.
اگر $ S=-\frac{b}{a}< 0$ در این‌صورت ریشه‌ای که از لحاظ قدرمطلق بزگتر است منفی است.
حالت دوم: اگر $P=\frac{c}{a}$ صفر باشد در این‌صورت c=0 و در نتیجه:
$ax^{2}+bx=0\to x\left ( ax+b \right )=0$
$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=0 \\
\\
x_{2}=-\frac{b}{a}\end{matrix}\right.$
اگر $ S=-\frac{b}{a}> 0$ در این‌صورت $x_{2}> 0$ است.
اگر $ S=-\frac{b}{a}< 0$ در این‌صورت $x_{2}< 0$ است.
حالت سوم: اگر $P=\frac{c}{a}$ مثبت باشد، علامت ریشه‌ها مشخص نیست باید $\Delta $را تشکیل دهیم که بسته به علامت $\Delta $سه حالت پیش می‌آید:
اگر $\Delta $منفی باشد معادله ریشه ندارد.
اگر $\Delta $مثبت باشد دو ریشه داریم.
اگر $\Delta $صفر باشد، یک ریشه مضاعف داریم.
در حالتی که $\Delta \geq 0$ است برای تشخیص علامت ریشه‌ها به علامت $S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ توجه می‌کنیم :
اگر S مثبت باشد، دو ریشه مثبت داریم.
اگر S منفی باشد، دو ریشه منفی داریم.
$P=\frac{c}{a}\left\{\begin{matrix}
P< 0\to x_{1}< 0< x_{2} & \\
& \\
P> 0\to x_{1}=0,x_{2}=-\frac{b}{a} & \\
& \\
P=0 \to & \left\{\begin{matrix}
\Delta < 0\to null & \\
& \\
\Delta > 0\to x_{1},x_{2}& \\
& \\
\Delta =0\to x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\ & \\
\end{matrix}\right. \\
\end{matrix}\right.$
در حالتی که $\Delta \geq 0$ باشد :
$ S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\left\{\begin{matrix}
S> 0\to x_{1},x_{2}> 0 \\
\\
S< 0\to x_{1},x_{2}< 0\end{matrix}\right.$
مثال: بدون حل کردن در وجود و علامت ریشه‌های معادله زیر بحث کنید.
$7x^{2}-49x=45$
$7x^{2}-49x-45=0$
$\frac{c}{a}=\frac{-45}{7}< 0\to $ دو ریشه مختلف العلامه داریم
$-\frac{b}{a}=-\frac{58}{7}< 0\to $ ریشه‌ای که از نظر قدر مطلق بزرگتر است منفی است
$7x^{2}-49x-126=0$
$\frac{c}{a}=\frac{-126}{7}< 0\to $ دو ریشه مختلف العلامه داریم
$-\frac{b}{a}=\frac{49}{7}> 0\to $ ریشه‌ای که از نظر قدر مطلق بزرگتر است مثبت است
$x^{2}-3x+10=0$
$\frac{c}{a}=10> 0 , \Delta =b^{2}-4ac=9-40=-31< 0\to $ ریشه حقیقی ندارد
$x^{2}-9x+14=0$
$\frac{c}{a}=14> 0 , \Delta =b^{2}-4ac=81-56> 0\to $ دو ریشه مثبت داریم
مثال: m را طوری تعیین کنید تا معادله $3x^{2}-10x+m=0$
اولا دارای دو ریشه متمایز باشد.
$ \Delta > 0$
$ \Delta =b^{2}-4ac=100-12m> 0 \to 100> 12m \to m< \frac{25}{3}$
ثانیا دو ریشه مثبت داشته باشد.
$\frac{c}{a}> 0, \Delta , -\frac{b}{2a}> 0> 0$
$\left\{\begin{matrix}
\frac{c}{a}=\frac{m}{2} > 0\to m> 0 \\
\\
\Delta =100-12m> 0\to m< \frac{25}{3} \\
\\
-\frac{b}{2a}=\frac{10}{6}> 0\end{matrix}\right. \xrightarrow[]{ \cap }0< m< \frac{25}{3}$
ثالثا یکی از ریشه‌ها صفر باشد.
$\frac{c}{a}=0\to \frac{c}{a}=\frac{m}{2}=0\to m=0$
رابعا ریشه‌ها عکس یکدیگر باشند.
$x_{1}=\frac{1}{x_{2}}\to x_{1}x_{2}=1$
$P=\frac{c}{a}=1\to \frac{m}{3}=1\to m=3$
خامسا دو ریشه مختلف العلامه داشته باشد.
$P=\frac{c}{a}< 0\to \frac{m}{3}< 0\to m< 0$
سادسا ریشه نداشته باشد.
$P=\frac{c}{a}\geq 0 ,\Delta < 0$
$\left\{\begin{matrix}
\frac{c}{a}=\frac{m}{2}\geq 0\to m\geq 0 \\
\frac{}{}\\
\Delta =100-12m< 0\to m> \frac{25}{3}\end{matrix}\right.\xrightarrow[]{\cap }m> \frac{25}{3}$
مثال: m را طوری تعیین کنید که اولا ریشه‌های معادله زیر معکوس یکدیگر و ثانیا قرینه یکدیگر باشند.
$5x^{2}-x+m=0$
$x_{1}=\frac{1}{x_{2}}\to x_{1}x_{2}=1$
$P=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m}{5}=1\to m=5$
ثانیا ریشه‌ها قرینه یکدیگر باشند:
$x_{1}=-x_{2}\to x_{1}+x_{2}=0$
$S= x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=0\to b=0$
پس اگر b=0 باشد ریشه‌ها قرینه یکدیگر می‌شوند و از آنجا که $b\neq 0$ است، پس در این مثال هرگز ریشه‌ها قرینه یکدیگر نمی‌شوند.
