اثبات روش کلی حل معادله درجه دوم و نکات مربوطه:

در این مقاله به اثبات روش کلی حل معادله درجه دوم می‌پردازیم و برای اثبات از کاربرد اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ای استفاده می‌کنیم برای یادآوری  به لینک اتحادها مراجعه کنید.

$ ax^{2}+bx+c=0$

$\frac{a}{a}x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$ x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}=0$

$ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

قرار می‌دهیم:  $\Delta =b^{2}-4ac$

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{\Delta }{4a^{2}}$

اگر $\Delta > 0$ باشد، در این‌صورت می توانیم از طرفین جذر با ریشه دو بگیریم و خواهیم داشت:

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x=+\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

اگر $\Delta = 0$ باشد:

$x=-\frac{b}{2a}$

اگر $\Delta < 0$ باشد در این‌صورت جذر با ریشه حقیقی نداریم پس معادله درجه دوم در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد. اصطلاحا می‌گوییم معادله درجه دوم ریشه حقیقی ندارد.

مثال: جوابهای معادلات زیر را به دست آورید:

$ x^{2}-20x+64=0$

$\Delta =b^{2}-4ac=400-4\left ( 1 \right )\left ( 64 \right )=144$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{+20\pm12 }{2}=\left\{\begin{matrix}
x_{1}=16 \\
x_{2}=4\end{matrix}\right.$

$\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{5}x+\sqrt{3}=0$

$\Delta =b^{2}-4ac=\left ( -2\sqrt{5} \right )^{2}-4\left ( \sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{3} \right )=20-12=8$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2\sqrt{5}\pm 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}\pm \sqrt{6}}{3}$

نکته: اگر a و c مختلف العلامه باشند در این‌صورت $4ac< 0$ پس $\Delta $ همواره مثبت می‌شود و معادله درجه دوم دقیقا دو جواب دارد.

ولی اگر a و c هم‌علامت باشند در این صورت $4ac> 0$ و در نتیجه $\Delta $ ممکن است مثبت یا منفی و یا صفر شود.

مثال: به ازای چه مقدار از m معادله زیر دارای جواب است.

$\left ( 4m+1 \right )x^{2}-4mx+m-3=0$

اگر 4m+1=0 در این‌صورت $m=-\frac{1}{4}$ و معادله درجه اول می‌شود و ریشه‌ معادله به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$-4mx+m-3=0$

$-4\left ( -\frac{1}{4} \right )x-\frac{1}{4}-3=0$

$x=\frac{13}{4}$

اگر $4m+1\neq 0$ در این صورت معادله درجه دو است :

$\Delta =b^{2}-4ac=16m^{2}-4\left ( 4m+1 \right )\left ( m-3 \right )=44m+12$

$\Delta =44m+12=0\rightarrow m=-\frac{3}{11}$

حال $\Delta $را تعیین علامت می‌کنیم:

مثال: $m$ را چنان تعیین کنید که معادله $\left ( 1-m \right )x^{2}+\left ( 2m-1 \right )x-\left ( m+2 \right )=0$

الف. دارای ریشه حقیقی نباشد.

ب. دارای دو ریشه حقیقی باشد.

ج. دارای ریشه مضاعف باشد.

جواب الف. اولا باید $1-a=m\neq 0$ یعنی $m\neq 1$ باشد. ثانیا باید $\Delta < 0$ در این‌صورت:

$\Delta = b^{2}-4ac=\left ( 2m-1 \right )^{2}+4\left ( 1-m \right )\left ( m+2 \right )=-8m+9< 0$

$\Delta =-8m+9< 0 \rightarrow m> \frac{9}{8}$

جواب ب. باید $a\neq 0$ و$\Delta < 0 $پس:

$\left\{\begin{matrix}
\Delta =-8m+9< 0\rightarrow m< \frac{9}{8} \\
\\
m\neq 1\end{matrix}\right.$

پس :

$m=\left ( -\infty ,\frac{9}{8} \right )-\left\{1 \right\}$

جواب ج. باید$a\neq 0$ و $\Delta = 0$ پس:$ m=\frac{9}{8} $