همراه شما می‌شویم با یک قضیه هیجان انگیز!

قضیه: اگر معادله درجه دوم $a{x}^2+bx+c=0$ دارای دو ریشه متمایز و یا مساوی باشد، مجموع آنها مساوی با $S=-\frac{b}{a}$ و حاصلضرب آنها مساوی $P=\frac{c}{a}$ است.

$a{x}^2+bx+c=0$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$    $,$    $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

اگر $\mathrm{\Delta }>0$ باشد، مشاهده می‌شود:

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_1{x}_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)=\frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

پس:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

حال اگر $\mathrm{\Delta }=0$ باشد در این صورت خواهیم داشت:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=0\underset{}{\to }{b}^2=4ac$

$x_1+x_2=\frac{-b}{2a}+\frac{-b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_1{x}_2=\frac{-b}{2a}\times \frac{-b}{2a}=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

 پس بدون حل معادله درجه دوم می‌توانیم مجموع و حاصلضرب ریشه‌ها را به‌دست آوریم. مجموع ریشه را با نماد S (اول کلمه Sum ) و حاصلضرب ریشه‌ها را با نماد P ( اول کلمه Product ) نمایش می‌دهیم.

مثال . بدون حل معادله زیر مجموع و حاصلضرب ریشه های آن را به‌دست آورید:

$7x^2+58x=45$

$7x^2+58x-45=0$

$S=-\frac{b}{a}=-\frac{58}{7}=-8$

$P=\frac{c}{a}=-\frac{45}{7}$