همراه شما می‌شویم با یک قضیه هیجان انگیز!

قضیه: اگر معادله درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$ دارای دو ریشه متمایز و یا مساوی باشد، مجموع آنها مساوی با $S=-\frac{b}{a}$ و حاصلضرب آنها مساوی $P=\frac{c}{a}$ است.

$ax^{2}+bx+c=0$

$\Delta =b^{2}-4ac $    $,$    $ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

اگر $\Delta > 0$ باشد، مشاهده می‌شود:

$x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$\ x_{1}x_{2}=\left ( \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \right )\left ( \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \right )=\frac{b^{2}-\Delta }{4a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$

پس:

$S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$

$P=x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

حال اگر $\Delta =0$ باشد در این صورت خواهیم داشت:

$\Delta =b^{2}-4ac=0 \underset{}{\rightarrow}b^{2}=4ac$

$x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{2a}+\frac{-b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_{1}x_{2}=\frac{-b}{2a}\times \frac{-b}{2a}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$

 پس بدون حل معادله درجه دوم می‌توانیم مجموع و حاصلضرب ریشه‌ها را به‌دست آوریم. مجموع ریشه را با نماد S (اول کلمه Sum ) و حاصلضرب ریشه‌ها را با نماد P ( اول کلمه Product ) نمایش می‌دهیم.

مثال . بدون حل معادله زیر مجموع و حاصلضرب ریشه های آن را به‌دست آورید:

$7x^{2}+58x=45$

$7x^{2}+58x-45=0$

$S=-\frac{b}{a}=-\frac{58}{7}=-8$

$P=\frac{c}{a}=-\frac{45}{7}$